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Dessiner la distribution de probabilité
Quelle que soit votre opinion sur la prévisibilité ou l’efficacité du marché, vous conviendrez probablement que pour la plupart des actifs, les rendements garantis sont incertains ou risqués. Si nous ignorons les mathématiques qui sous-tendent les distributions de probabilité, nous pouvons voir que ce sont des images qui décrivent une vision particulière de l’incertitude. Une distribution de probabilité est un calcul statistique qui décrit la probabilité qu’une variable donnée se situe dans ou dans une plage spécifique sur un graphique tracé.
L’incertitude fait référence au hasard. C’est différent du manque de prévisibilité ou des marchés inefficaces. Une nouvelle perspective de recherche soutient que les marchés financiers sont à la fois incertains et prévisibles. De plus, les marchés peuvent être efficaces mais aussi incertains.
En finance, nous utilisons les distributions de probabilité pour dessiner des images qui illustrent notre vision de la sensibilité des rendements des actifs lorsque nous considérons que les rendements des actifs peuvent être traités comme une variable aléatoire. Dans cet article, nous passerons en revue certaines des distributions de probabilité les plus courantes et vous montrerons comment les calculer.
Les distributions peuvent être classées comme discrètes ou continues et, par conséquent, comme fonction de densité de probabilité (PDF) ou distribution cumulative.
Leçon principale
- Une distribution de probabilité est un type de calcul statistique utilisé par les traders pour démontrer la probabilité qu’une variable particulière se situe dans une certaine plage sur un graphique électoral.
- Les distributions de probabilité sont utilisées pour mettre en évidence les lectures des acteurs du marché sur la sensibilité des rendements des actifs, lorsque les rendements sont considérés comme une variable aléatoire.
- Les distributions de probabilité sont caractérisées comme discrètes ou continues et se comportent comme des fonctions de densité de probabilité ou des distributions cumulatives.
Distribution discrète et continue
Discret fait référence à une variable aléatoire tirée d’un ensemble fini de résultats possibles. Par exemple, un dé à six faces donne six résultats distincts. La distribution continue fait référence à une variable aléatoire tirée d’une population infinie. Des exemples de variables aléatoires continues incluent la vitesse, la distance et certains rendements d’actifs. Les variables aléatoires discrètes sont souvent illustrées par des points ou des tirets, tandis que les variables continues sont illustrées par des lignes pleines. La figure ci-dessous montre les distributions discrètes et continues pour une distribution normale avec une moyenne (valeur attendue) de 50 et un écart type de 10 :
La distribution est une tentative de cartographier l’incertitude. Dans ce cas, le résultat 50 est le plus probable mais ne se produit que dans environ 4 % du temps ; un résultat de 40 est un écart type en dessous de la moyenne, et cela se produira un peu moins de 2,5 % du temps.
Densité de probabilité versus distribution cumulative
L’autre différence réside entre la fonction de densité de probabilité (PDF) et la fonction de distribution cumulative. PDF est la probabilité que notre variable aléatoire atteigne une valeur particulière (ou dans le cas de variables continues, se situe entre un intervalle). Nous le prouvons en montrant la probabilité qu’une variable aléatoire X sera égal à une valeur réelle x :
La distribution cumulative est la probabilité que la variable aléatoire X sera inférieur ou égal à la valeur réelle x :
Par exemple, si votre taille est une variable aléatoire avec une valeur attendue de 5’10” pouces (la taille moyenne de vos parents), alors la question PDF est “Quelle est la probabilité que vous mesuriez 5’4” ? La question correspondante de la fonction de distribution cumulative est “Quelle est la probabilité que vous mesuriez moins de 5’4” ?
La figure ci-dessus montre deux distributions normales. Vous pouvez maintenant voir que ce sont des tracés de fonction de densité de probabilité (PDF). Si nous redessinons la distribution exactement de la même manière que la distribution cumulée, nous obtenons ce qui suit :
La distribution cumulative finale devrait atteindre 1,0 ou 100 % sur l’axe des y. Si nous plaçons la barre suffisamment haut, à un moment donné, presque tous les résultats tomberont en dessous de cette norme (on pourrait dire que la distribution se rapproche normalement de 1,0).
La finance, une science sociale, n’est pas aussi propre que la science physique. Par exemple, la gravité a une formule élégante sur laquelle nous pouvons compter encore et encore. D’un autre côté, les rendements des actifs financiers ne peuvent pas être reproduits de manière aussi cohérente. Des sommes d’argent stupéfiantes ont été perdues au fil des années par des gens intelligents qui ont confondu les attributions exactes (c’est-à-dire, comme si elles étaient dérivées de la science physique) avec des approximations désordonnées et peu fiables qui tentent de décrire les rendements financiers. En finance, les distributions de probabilités sont bien plus que de simples représentations visuelles grossières.
Distribution unifiée
La distribution la plus simple et la plus courante est une distribution uniforme, dans laquelle tous les résultats ont une chance égale de se produire. Une face à six côtés a une répartition uniforme. Chaque résultat a une probabilité d’environ 16,67 % (1/6). Notre graphique ci-dessous montre la ligne continue (pour que vous puissiez mieux la voir), mais n’oubliez pas qu’il s’agit d’une distribution discrète : vous ne pouvez pas déployer 2.5 ou 2.11 :
Lancez maintenant les deux dés ensemble, comme le montre la figure ci-dessous, et la répartition n’est plus uniforme. Il culmine à 7 heures, ce qui a une probabilité de 16,67 %. Dans ce cas, tous les autres résultats sont moins probables :
Maintenant, lancez les trois dés ensemble comme indiqué dans l’image ci-dessous. Nous commençons à voir les effets d’un théorème des plus merveilleux : le théorème central limite. Le théorème central limite promet avec audace que la somme ou la moyenne d’une série de variables indépendantes aura tendance à être distribuée normalement, quelle que soit leur propre distribution. Nos dés sont tous identiques, mais combinez-les et, à mesure que nous ajoutons des dés, leur somme tendra presque comme par magie vers la distribution normale familière.
Distribution binomiale
La distribution binomiale reflète une série d’essais « soit/ou », comme une série de tirages à pile ou face. C’est ce qu’on appelle un test de Bernoulli, qui fait référence à des événements avec seulement deux résultats, mais vous n’avez pas besoin de cotes paires (50/50). La distribution binomiale ci-dessous représente une série de 10 lancers de pièces où la probabilité que face tombe est de 50 % (p-0,5). Vous pouvez voir dans l’image ci-dessous que la chance de retourner exactement cinq têtes et cinq queues (l’ordre n’a pas d’importance) n’est que de 25 % :
Si la distribution binomiale vous semble normale, alors vous avez raison. À mesure que le nombre d’essais augmente, le binôme tend vers une distribution normale.
Distribution logique
Les rendements des actifs sont souvent considérés comme normaux : une action peut augmenter de 10 % ou diminuer de 10 %. Les niveaux de prix sont généralement considérés comme normaux : une action à 10 $ peut monter jusqu’à 30 $ mais ne peut pas descendre jusqu’à -10 $. La distribution lognormale est non nulle et asymétrique vers la droite (encore une fois, un titre ne peut pas tomber en dessous de zéro mais il n’a pas de limite théorique à la hausse) :
Poisson
La distribution de Poisson est utilisée pour décrire la probabilité qu’un certain événement (par exemple, une perte quotidienne de portefeuille inférieure à 5 %) se produise sur une période donnée. Ainsi, dans l’exemple ci-dessous, nous supposons que certains processus opérationnels ont un taux d’erreur de 3 %. Nous supposons en outre 100 essais randomisés ; La distribution de Poisson décrit la probabilité qu’un certain nombre d’erreurs se produisent sur une certaine période de temps, par exemple une journée.
étudiant T
La distribution T d’étudiant est également populaire car elle a une queue légèrement plus grosse que la distribution normale. Le t de Student est généralement utilisé lorsque la taille de notre échantillon est petite (c’est-à-dire inférieure à 30). En finance, la queue gauche représente une perte. Ainsi, si la taille de l’échantillon est petite, nous osons sous-estimer la possibilité de pertes importantes. La queue plus grosse sur le T de l’élève nous aidera ici. Il n’en reste pas moins que la grosse queue de cette distribution n’est souvent pas assez grosse. Les rendements financiers ont tendance à présenter, dans de rares cas catastrophiques, des pertes vraiment importantes (c’est-à-dire plus importantes que ce que prévoyaient les attributions). Une grande somme d’argent a été perdue en faisant valoir ce point.
Distribution bêta
Enfin, la distribution bêta (à ne pas confondre avec le paramètre bêta dans les modèles d’évaluation des actifs financiers) est populaire auprès des modèles qui estiment les rendements des portefeuilles obligataires. Les distributions bêta sont des acteurs utilitaires des distributions. Comme d’habitude, il n’a besoin que de deux paramètres (alpha et bêta), mais ils peuvent être combinés pour créer une flexibilité exceptionnelle. Quatre distributions bêta possibles sont illustrées ci-dessous :
Conclusion
Comme tant de paires de chaussures dans notre garde-robe, nous essayons de choisir la meilleure coupe pour l’occasion, mais nous ne savons pas vraiment ce que la météo va faire pour nous. Nous pouvons choisir une distribution normale et découvrir ensuite qu’elle sous-estime les pertes à gauche ; nous passons donc à une distribution asymétrique, seulement pour voir les données paraître plus « normales » la période suivante. Les calculs élégants ci-dessous pourraient vous amener à penser que ces distributions révèlent une vérité plus profonde, mais il est plus probable qu’il ne s’agisse que d’un artefact humain. Par exemple, toutes les distributions que nous avons examinées ont été assez fluides, mais les rendements de certains actifs ont augmenté de manière intermittente.
La distribution normale est omniprésente et élégante et ne nécessite que deux paramètres (la moyenne et la distribution). De nombreuses autres distributions convergent vers la distribution normale (par exemple, binomiale et Poisson). Cependant, de nombreuses situations, telles que les rendements des hedge funds, les portefeuilles de crédit et les événements de pertes graves, ne méritent pas une distribution normale.
