Maîtriser le modèle Black-Scholes : guide d’expert pour créer un modèle de tarification

Les options de tarification peuvent être une tâche difficile. Considérez la situation suivante : en janvier 2015, l’action IBM se négociait à 155 $ et vous vous attendez à ce qu’elle augmente au cours de l’année prochaine. Vous envisagez d’acheter une option d’achat sur des actions IBM avec un prix d’exercice ATM de 155 $, dans l’espoir de bénéficier d’un pourcentage de rendement élevé, basé sur un faible coût d’option (prime d’option), par rapport à l’achat de l’action à un prix d’achat élevé.

Il existe aujourd’hui plusieurs méthodes disponibles dans le commerce pour évaluer les options, notamment le modèle Black-Scholes et le modèle de l’arbre binomial, qui peuvent fournir des réponses rapides. Mais quels sont les facteurs sous-jacents et les concepts qui conduisent à l’élaboration de tels modèles de tarification ? Peut-on préparer quelque chose de similaire sur la base des idées de ces modèles ?

Nous couvrons ici les éléments de base, les concepts de base et les facteurs qui peuvent être utilisés comme cadre pour construire un modèle de tarification pour un actif tel que les options, en fournissant une comparaison côte à côte avec les origines du modèle Black-Scholes (BS).

Cet article n’a pas pour but de remettre en question les hypothèses ou tout autre élément du modèle BS (ce qui est un tout autre sujet) ; il vise plutôt à expliquer le concept de base du modèle Black-Scholes, ainsi que l’idée de développer un modèle de tarification.

Modèles financiers pré-Black-Scholes : un aperçu historique

Avant Black-Scholes, le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEAF) basé sur l’équilibre était largement appliqué. Les rendements et les risques sont équilibrés les uns par rapport aux autres, en fonction des préférences des investisseurs, c’est-à-dire qu’un investisseur prenant un risque élevé devrait être compensé par des rendements (potentiellement) plus élevés dans la même proportion.

Le modèle BS est dérivé du CAPM. Selon Fischer Black : « J’ai appliqué le modèle d’évaluation des actifs financiers à chaque étape de la durée de vie du warrant, à chaque cours d’action et valeur de warrant possible. » Malheureusement, le CAPM ne peut pas répondre aux exigences de prix des warrants (options).

Black-Scholes reste le premier modèle, basé sur le concept d’arbitrage, à créer un changement de paradigme par rapport aux modèles basés sur le risque (tels que le CAPM). Ce nouveau développement de modèle BS a remplacé le concept de rendement boursier CAPM par la reconnaissance du fait qu’une position parfaitement couverte générera un taux de rendement sans risque. Cela a éliminé les variations de risque et de rendement et a établi le concept d’arbitrage où la tarification est basée sur les hypothèses d’un concept neutre en termes de risque : une position couverte (sans risque) entraînera un taux de rendement sans risque.

Comment le modèle Black-Scholes a été développé

Commencez par identifier le problème, le quantifier et développer un cadre pour la solution. Nous continuons avec notre exemple de tarification d’une option d’achat ATM sur IBM avec un prix d’exercice de 155 $ et une expiration d’un an.

Sur la base de la définition de base d’une option d’achat, à moins que le cours de l’action n’atteigne le prix d’exercice, le profit est toujours nul. Après ce niveau, le gain augmente de manière linéaire (c’est-à-dire qu’une augmentation d’un dollar de l’actif sous-jacent génère un gain d’un dollar sur l’option d’achat).

Dans l’hypothèse où l’acheteur et le vendeur s’accordent sur un juste prix (y compris un prix nul), le juste prix théorique de cette option d’achat serait :

• Prix ​​de l’option d’achat = 0 $, si sous-jacent < prix d'exercice (graphique rouge)
• Prix ​​de l’option d’achat = (sous-jacent – ​​prix d’exercice), si sous-jacent >= prix d’exercice (graphique bleu)

Cela représente la valeur intrinsèque de l’option et semble parfait du point de vue de l’acheteur de l’option d’achat. En zone rouge, tant l’acheteur que le vendeur ont une juste valorisation (prix nul pour le vendeur, pas de remboursement pour l’acheteur). Cependant, le défi du prix commence à partir de la zone bleue, car l’acheteur a l’avantage de réaliser un profit positif, tandis que le vendeur doit supporter la perte (à condition que le prix sous-jacent soit supérieur au prix d’exercice). C’est là que l’acheteur a un avantage sur le vendeur avec un prix nul. Le prix doit être différent de zéro pour compenser le risque pris par le vendeur.

Dans le cas précédent (graphique rouge), le vendeur ne reçoit théoriquement aucun prix et il est peu probable qu’il rembourse l’acheteur (équitable pour les deux). Dans ce dernier cas (graphique bleu), la différence entre le prix d’exercice et le prix d’exercice sera payée par le vendeur à l’acheteur. Le risque du vendeur s’étend sur une année. Par exemple, le cours de l’action sous-jacente peut monter très haut (peut-être jusqu’à 200 $ sur une période de quatre mois) et le vendeur doit payer à l’acheteur la différence de 45 $.

Cela se résume donc à :

1. Le prix de l’actif sous-jacent a-t-il dépassé le prix d’exercice ?
2. Si oui, jusqu’où peut aller le prix de base (puisque cela déterminera le remboursement à l’acheteur) ?

Cela montre le risque énorme auquel le vendeur est confronté, ce qui conduit à la question : pourquoi quelqu’un vendrait-il une telle option d’achat s’il n’obtient rien en échange du risque qu’il prend ?

Notre objectif est d’arriver à un prix unique que le vendeur doit facturer à l’acheteur, qui le rémunère du risque global qu’il encourt sur une période d’un an, à la fois dans la zone de paiement nul (rouge) et dans la zone de paiement linéaire (bleu). Le prix doit être raisonnable et acceptable tant pour les acheteurs que pour les vendeurs. Dans le cas contraire, les personnes désavantagées en payant ou en recevant des prix injustes ne participeront pas au marché, ce qui irait à l’encontre de l’objectif du commerce. Le modèle Black-Scholes vise à établir ce juste prix en considérant la volatilité constante du prix de l’action, la valeur temporelle de l’argent, le prix d’exercice de l’option et l’heure d’expiration de l’option. Semblable au modèle BS, voyons comment nous pouvons aborder l’évaluation de cela pour notre exemple en utilisant nos propres méthodes.

Évaluation de la valeur intrinsèque dans la tarification des options

Il existe plusieurs méthodes disponibles pour prédire les mouvements futurs attendus des prix sur une période donnée :

• On peut analyser des mouvements de prix similaires sur la même période dans un passé récent. Les cours de clôture historiques d’IBM montrent qu’au cours de l’année écoulée (du 2 janvier 2014 au 31 décembre 2014), le prix est tombé de 185,53 $ à 160,44 $, soit une baisse de 13,5 %. Peut-on conclure à un prix de -13,5% pour IBM ?
• Un examen plus détaillé montre qu’il a atteint un sommet annuel de 199,21 $ (le 10 avril 2014) et un minimum annuel de 150,50 $ (le 16 décembre 2014). Sur la base de la date de début, le 2 janvier 2014, et du cours de clôture de 185,53 $, la variation en pourcentage varie de +7,37 % à -18,88 %. Désormais, la fourchette de volatilité semble beaucoup plus large que la baisse de 13,5 % calculée précédemment.

Des analyses et observations similaires des données historiques peuvent être effectuées. Pour développer davantage le modèle de tarification, supposons cette méthode simple d’évaluation des mouvements de prix futurs.

Disons qu’IBM connaît une croissance de 10 % par an (sur la base des données historiques des 20 dernières années). Les statistiques de base indiquent que la probabilité que le cours de l’action IBM évolue autour de +10 % est beaucoup plus élevée que la probabilité que le cours de l’action IBM augmente de 20 % ou baisse de 30 %, en supposant un modèle historique répété. En collectant des points de données historiques similaires aux valeurs de probabilité, le rendement global attendu du cours de l’action IBM sur une période d’un an peut être calculé comme une moyenne pondérée des probabilités et des rendements associés. Par exemple, supposons que les données historiques sur les prix d’IBM indiquent les mouvements suivants :

• (-10%) dans 25% des fois,
• +10% 35% du temps,
• +15% dans 20% des fois,
• +20% dans 10% des cas,
• +25% dans 5% des fois et
• (-15%) 5% du temps.

Par conséquent, la moyenne pondérée (ou valeur attendue) sera :

Cela signifie qu’en moyenne, le cours de l’action IBM devrait augmenter de +6,5 % sur un an par dollar. Si quelqu’un achète des actions IBM pour une durée d’un an et un prix d’achat de 155 $, on peut s’attendre à un bénéfice net de 155*6,5 % = 10 075 $.

Cependant, cela concerne les bénéfices boursiers. Nous devons rechercher des rendements attendus similaires pour les options d’achat.

Sur la base du gain nul de l’appel en dessous du prix d’exercice (appel ATM actuel de 155 $), tous les mouvements négatifs généreraient un gain nul, tandis que tous les mouvements positifs au-dessus du prix d’exercice généreraient un gain équivalent. Le bénéfice attendu de l’option d’achat sera donc :

(-0%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5%—0%*5%)/100% = 9,75%

Autrement dit, pour chaque 100 $ investi dans l’achat de cette option, on peut s’attendre à 9,75 $ (sur la base des hypothèses ci-dessus).

Cependant, cela reste limité à la juste évaluation de la quantité intrinsèque d’options et ne rend pas compte avec précision du risque supporté par le vendeur d’options en raison de la forte volatilité qui peut survenir entre-temps (dans le cas de prix hauts et bas au cours de l’année mentionnée ci-dessus). Outre la valeur intrinsèque, quel prix peuvent être convenus entre l’acheteur et le vendeur afin que le vendeur soit correctement indemnisé du risque qu’il encourt sur une période d’un an ?

Ces fluctuations peuvent varier considérablement et les vendeurs peuvent avoir leur propre interprétation du montant qu’ils souhaitent être rémunérés. Le modèle Black-Scholes suppose des options de type européen, c’est-à-dire aucun exercice de l’option avant la date d’expiration. Il n’est donc pas affecté par les fluctuations de prix intermédiaires et les valorisations sont basées sur des jours de bourse continus.

Dans les échanges intrajournaliers réels, cette volatilité joue un rôle important dans la détermination des prix des options. La fonction de paiement bleue que nous voyons souvent est en fait la fonction de paiement à la date d’expiration. En effet, le prix de l’option (graphique rose) est toujours supérieur au profit (graphique bleu), indiquant le prix proposé par le vendeur pour compenser sa tolérance au risque. C’est pourquoi les prix des options sont également appelés « primes » d’options – indiquant essentiellement la prime de risque.

Cela peut être pris en compte dans notre modèle d’évaluation, en fonction de la volatilité attendue du cours de l’action et de la valeur attendue.

Le modèle Black-Scholes le fait efficacement (dans le cadre de ses propres hypothèses, bien sûr) comme suit :

C=S×N(d1) − \end{aligned}​C=S×N(d1​)−X×e−rTN(d2​)​

Le modèle BS suppose une distribution lognormale des fluctuations du cours des actions, ce qui justifie l’utilisation de N(d1) et N(d2).

• Dans la première partie, S indique le prix actuel du titre.
• N(d1) indique la probabilité de fluctuation actuelle du prix de l’action.

Si l’option est dans la monnaie permettant à l’acheteur d’exercer l’option, il recevra une action sous-jacente d’IBM. Si le trader exerce cette option aujourd’hui, alors S*N(d1) représente la valeur attendue aujourd’hui de l’option.

Dans la deuxième partie, X représente le prix d’exercice.

• N(d2) représente la probabilité que le cours de l’action soit supérieur au prix d’exercice.
• Donc X*N(d2) représente la valeur attendue du cours restant de l’action au-dessus de prix d’exercice.

Puisque le modèle Black-Scholes suppose des options de type européen où l’exercice n’est possible qu’à la fin, la valeur attendue exprimée sous la forme X*N(d2) ci-dessus sera actualisée de la valeur temporelle de l’argent. La dernière partie est donc multipliée par l’exposant majoré du taux d’intérêt sur la période.

La différence nette de deux termes donne la valeur du prix de l’option à ce jour (où le deuxième terme est actualisé)

Dans notre cadre, ces fluctuations de prix peuvent être incluses plus précisément de plusieurs manières :

• Améliorer encore les calculs de rendement attendu en étendant la plage à des périodes plus précises pour inclure les mouvements de prix intrajournaliers/intra-annuels
• Comprend les données actuelles du marché, car elles reflètent l’activité actuelle (semblable à la volatilité implicite)
• Rendement attendu à la date d’expiration, qui peut être actualisé à l’heure actuelle par rapport à la valorisation réelle et encore réduit par rapport à la valeur actuelle.

Ainsi, nous ne voyons aucune limite aux hypothèses, méthodes et personnalisations choisies pour l’analyse quantitative. En fonction de l’actif négocié ou de l’investissement envisagé, un modèle auto-développé peut être mis en œuvre. Il est important de noter que la volatilité des mouvements de prix des différentes classes d’actifs varie considérablement (les actions ont une volatilité asymétrique, le forex a une volatilité volatile) et les utilisateurs doivent intégrer des modèles de volatilité applicables dans leurs modèles. Les hypothèses et les inconvénients font partie intégrante de tout modèle, et l’application judicieuse des modèles à des situations commerciales réelles peut donner de meilleurs résultats.

Conclusion : principaux points à retenir pour la construction d’un modèle de tarification

Avec l’entrée d’actifs complexes sur le marché ou même d’actifs simples entrant dans des formes complexes de négociation, la modélisation et l’analyse quantitatives deviennent obligatoires pour l’évaluation. Malheureusement, il n’existe pas de modèle mathématique sans nombreuses limites et hypothèses. La meilleure approche consiste à limiter les hypothèses au minimum et à être conscient des limites potentielles, ce qui peut aider à tracer des limites quant aux utilisations et à l’applicabilité des modèles.