Comprendre la distribution normale : définitions clés, formules et exemples concrets

Qu’est-ce qu’une distribution normale ?

La formule de distribution normale s’appuie sur deux paramètres simples : la moyenne et l’écart type pour quantifier les caractéristiques d’un ensemble de données donné. Alors que la moyenne représente le « centre » ou la valeur moyenne de l’ensemble des données, l’écart type représente la « propagation » ou la variation des points de données autour de cette moyenne. La courbe de distribution normale est importante car elle facilite l’analyse et l’interprétation des données.

Nous utilisons plusieurs exemples concrets pour illustrer ces concepts et montrer comment les tableaux de distribution normale peuvent être appliqués à différents domaines, tels que le trading d’actions, fournissant ainsi un aperçu des calculs de probabilité pertinents pour l’analyse des données du monde réel.

Un exemple de la distribution normale en action

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Considérez les 2 ensembles de données suivants :

1. Ensemble de données 1 = {10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10}
2. Tuple 2 = {6, 8, 10, 12, 14, 14, 12, 10, 8, 6}

Pour Dataset1, moyenne = 10 et écart type (stddev) = 0

Pour Dataset2, moyenne = 10 et écart type (stddev) = 2,83

Traçons ces valeurs pour DataSet1 :

Idem pour DataSet2 :

La ligne horizontale rouge dans les deux graphiques ci-dessus représente la valeur « moyenne » ou médiane de chaque ensemble de données (10 dans les deux cas). La flèche rose dans le deuxième graphique représente le degré d’écart ou de variation des valeurs des données par rapport à la moyenne. Ceci est démontré par la valeur d’écart type de 2,83 dans le cas de DataSet2. Puisque DataSet1 a toutes les mêmes valeurs (chaque valeur est 10) et aucune variation, la valeur stddev est 0 et donc la flèche rose n’est pas applicable.

La valeur stddev possède plusieurs caractéristiques importantes et utiles qui sont extrêmement utiles dans l’analyse des données. Pour une distribution normale, les valeurs des données sont réparties symétriquement de part et d’autre de la moyenne. Pour tout ensemble de données normalement distribué, en traçant avec stddev sur l’axe horizontal et le nombre de valeurs de données sur l’axe vertical, le graphique suivant est obtenu.

Principales caractéristiques de la distribution normale

1. La courbe normale est symétrique par rapport à la moyenne ;
2. La valeur moyenne se situe au milieu et divise la zone en deux moitiés ;
3. L’aire totale sous la courbe est égale à 1 avec moyenne=0 et stdev=1 ;
4. La distribution est complètement décrite par sa moyenne et son stddev

Comme le montre le graphique ci-dessus, stddev représente ce qui suit :

• 68,3% des valeurs de données contenues dans 1 écart type de la moyenne (-1 à +1)
• 95,4% des valeurs de données contenues dans 2 écarts types de valeur moyenne (-2 à +2)
• 99,7% des valeurs de données contenues dans 3 écarts types de valeur moyenne (-3 à +3)

L’aire sous la courbe en cloche, lorsqu’elle est mesurée, indique la probabilité attendue d’une plage donnée :

• plus petit que X : par ex. probabilité que la valeur des données soit inférieure à 70
• supérieur à X : par ex. probabilité que la valeur des données soit supérieure à 95
• entre X₁ et X₂: par exemple, la probabilité d’obtenir des valeurs de données comprises entre 65 et 85

où X est la valeur d’intérêt (exemple ci-dessous).

Le traçage et le calcul de la zone ne sont pas toujours pratiques car différents ensembles de données auront des valeurs moyennes et standard différentes. Pour faciliter une méthode standard unifiée facilitant le calcul et l’application aux problèmes du monde réel, une conversion standard en valeur Z a été introduite, qui fait partie du Tableau de répartition standard.

Z = (X – Moyenne)/stddev, où X est une variable aléatoire.

Essentiellement, cette conversion force la moyenne et l’écart type à être normalisés respectivement à 0 et 1, ce qui permet d’obtenir un ensemble standard défini de valeurs Z (de Tableau de répartition standard) est utilisé pour des calculs faciles. Un instantané de la table de valeurs z standard contient les valeurs de probabilité suivantes :